Доказательство Великой Теоремы Ферма

Теорема: Уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ (1) при натуральных числах n > 2, не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.

Уравнение (1) содержит числа zⁿ > xⁿ; zⁿ > yⁿ; xⁿ ≠ yⁿ.

Для доказательства теоремы используем вышеприведенные свойства уравнений 2-й степени, так как любое число в степени п можно выразить через 2-ю степень:

xⁿ = x^{n − 2}x².

Запишем уравнение (1) как уравнение 2-й степени:

x^{n − 2}x² + y^{n − 2}y² = z^{n − 2}z²; (1б);

x^{n − 2}x²/z^{n − 2} + y^{n − 2}y²/z^{n − 2} = z²; (1в).

В уравнениях (1б) и (1в) коэффициенты можно заменить на числа 2-й степени, а именно:

x^{n − 2} = (√(x^{n − 2}))²; y^{n − 2}=(√(y^{n − 2}))²; z^{n − 2} = (√(z^{n − 2}))²,

и они станут подобны уравнениям (2е), (2д) и (2ж), которые не имеют решений в натуральных числах.

Проверим, возможно ли решение уравнения (1б) в натуральных числах при подстановке в уравнение значений:

x = ab; y = (a² − b²) / 2; z = (a² + b²) / 2;

x^{n − 2}a²b² + y^{n − 2}((a² − b²) / 2)² = z^{n − 2}((a² + b2) / 2)²;

получим:

x^{n − 2}4a²b² + y^{n − 2}a⁴ − y^{n − 2}2a²b² + y^{n − 2}b⁴ = z^{n − 2}a⁴ + 2a²b²z^{n − 2} + z^{n − 2}b⁴;

(x^{n − 2} − y^{n − 2} + x^{n − 2} − z^{n − 2})2a²b² = (z^{n − 2} − y^{n − 2})(a⁴ + b⁴); (1г).

Если x^{n − 2} < y^{n − 2} < z^{n − 2}, то уравнение (1г) получает отрицательное значение множителей левой части и положительное значение множителей правой части. В уравнении (1г) нет равенства левой и правой части, значит, нет и решения его.

Если y^{n − 2} < x^{n − 2} < z^{n − 2}, то, приравняв z^{n − 2} = х^{n − 2} + p₁, получим уравнение (1г) в следующем виде:

(x^{n − 2} − p₁ − y^{n − 2})2a²b² = (x^{n − 2} + p₁ − y^{n − 2})(a⁴ + b⁴).

Здесь также нет равенства между левой и правой частями уравнения из-за того, что

(x^{n − 2} − p₁ − y^{n − 2}) < (x^{n − 2} + p₁ − y^{n − 2}),

где величина имеет разные знаки, а

2a²b² < (a⁴ + b⁴)

из равенства

(a² + b²) = (a⁴ + 2a² b² + b⁴).

Вывод. Уравнение 2-й степени x^{n − 2}x² + y^{n − 2}y² = z^{n − 2}z², а, следовательно, и уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, при натуральном n > 2, не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.

Великая теорема Ферма доказана простым способом.

По приведенному доказательству теоремы Ферма имеется положительный отзыв за № 18/8-94 от 16.03.2006. Приводятся краткие выдержки:

Уважаемый Владимир Антонович!

Ваше письмо от 26 февраля 2006 года, касающееся доказательства теоремы Ферма, рассмотрено Федеральным институтом промышленной собственности (далее — Институт)... В Вашем случае, видимо, предложенное доказательство теоремы Ферма может быть отнесено к категории научных открытий... Институт не вправе осуществлять какую-либо деятельность в данной области.

В настоящее время при отсутствии государственной регистрации научных открытий, их экспертизу, регистрацию и выдачу соответствующих дипломов осуществляет совместно Российская академия естественных наук (РАЕН) и Международная ассоциация авторов научных открытий (МААНО), как научно-общественные (негосударственные) организации, что дает авторам возможность обозначить свой вклад в науку. Адрес этих организаций: Профсоюзная ул., д. 123, ГСП-7, Москва, 117997...

Литература

Саймон Сингх. «Великая теорема Ферма». Перевод с английского Ю.А. Данилова. МЦНМО, 2000.

Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. М., 1971, «Просвещение».