Великая теорема Ферма

Французский математик Пьер Ферма (1601—1665) свою теорему записал на полях книги К.Г. Боше, переведшего «Арифметику» Диофанта в 1621 году: «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвертой степени быть записанным в виде суммы двух четвертых степеней, или, в общем, для любого числа, которая есть степень более двух, быть записанной в виде суммы двух таких же степеней».

И добавил: «Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы оно могло на них поместиться».

Широкому кругу математиков и любителям эти записи стали известны с 1670 г., после издания его сыном книги «Диофантова Арифметика, содержащая примечания П. де Ферма».

Доказав свою теорему для уравнения четвертой степени, Ферма как бы указал путь поиска доказательств.

В 1753 г. Эйлер доказал невозможность решения в целых положительных (натуральных) числах уравнения

xⁿ + yⁿ = zⁿ

при натуральном числе n = 3. В 1825 г. теорема была доказана для n = 5 и т. д. И только в сентябре 1999 года английский математик Эндрью Уайлс доказал теорему Ферма очень сложным путем для любого натурального числа n.

Предлагается:

Простой способ доказательства теоремы Ферма

Рассмотрим подробно уравнение

хⁿ + yⁿ = zⁿ; (1),

при n = 2.

Из теории рациональных чисел известно:

1. Уравнение

х² + у² = z²; (2),

называется основным, если числа x, y, z попарно взаимно простые (имеют наибольший общий делитель, равный единице), в нем одно четное число (y) и два нечетных (x и z).

2. Уравнение (2) имеет решение в целых положительных числах, если x, y, z определены по формулам:

х = ab; у = (a² − b²) / 2; z = (a² + b²) / 2; (2б),

где a и b — нечетные взаимно простые числа.

Натуральными (целыми и положительными) называются числа ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... и т. д. к бесконечности. Примеры:

и т. д.

3. Уравнение

(kx)² + (ky)² = (kz)² или k²x² + k²y² − k²z² = 0; (2в)

имеет равенство нулю при любом значении натурального числа к и решается в целых положительных числах по формулам (26), увеличенным в k раз:

kx = kab; ky = k(a² − b²) / 2; kz = k(a² + b²) / 2; (2г).

Сделаем анализ уравнения (2в) при разных значениях коэффициента k, когда k₁² < k₂²; k₂² < k₃². Имеем уравнение:

k₁²x² + k₂²y² = k₃²z²; (2д).

Заменим коэффициент k₁² и k₂² через k₃², введя разницу между ними:

k₁² = k₃² − p₁; k₂² = k₃² − p₂;

получим уравнение

k₃²x² + k₃²y² − k₃²z² = p₁x² + p₂y²; (2е).

Преобразуем уравнение (2д) в

k₁²x²/k₃² + k₂²y²/k₃² = z²; (2ж).

Уравнения (2е) и (2ж) не соответствуют уравнениям (2в) и (2), что и указывает на невозможность их решения в натуральных числах. Левая часть уравнения (2е) не равна нулю, а уравнение (2ж) имеет коэффициенты дробные (менее единицы) и они не являются натуральными числами.